一文搞定十大排序算法

图解算法

代码实现

   /**
     * 希尔排序
     * @param nums
     */
    public static void ShellSort(int[] nums) {
        int gap = nums.length / 2;
        while (gap > 0) {
            //维护排序区，指向待比较元素
            for (int i = gap;i < nums.length;i++) {
                //待插入的值
                int compare = nums[i];
                //反向遍历排序区
                int j;
                for ( j = i - gap;j >= 0;j-= gap) {
                    if (compare > nums[j]) break;
                    //如果大于插入值就往后移一位
                    nums[j + gap] = nums[j];
                }
                //插入
                nums[j + gap] = compare;
            }
			//改变希尔增量
            gap /= 2;

        }
    }

算法分析

• 稳定性：不稳定
• 时间复杂度：最佳：O(nlogn)， 最差：O(n2) 平均：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(1)

归并排序 (Merge Sort)

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法 (Divide and Conquer) 的一个非常典型的应用。归并排序是一种稳定的排序方法。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为 2 - 路归并。

Tips:什么是分治法？
分治法是一种很重要的算法设计技巧。它的基本思想是:将一个复杂的问题分解成两个或更多相同或相关的子问题,直到变成基本问题可以直接求解,最后将子问题的解汇总为原问题的解。
分治法通常包含三个步骤:

1. 分解:将原问题分解为若干个子问题。
2. 解决:递归地解决各个子问题。如果子问题还可以分解,则继续分解,否则直接解决子问题。
3. 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

分治法的优点是可以大大减少时间复杂度和空间复杂度。但是分治法也存在一定的缺点,例如在分解和合并阶段会有一定的额外开销,并不一定所有问题都可以很好地分解等。
典型的应用分治法的算法有:归并排序、快速排序、线段树、阶乘实现等。

和选择排序一样，归并排序的性能不受输入数据的影响，但表现比选择排序好的多，因为始终都是 O(nlogn) 的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。

算法步骤

归并排序算法是一个递归过程，边界条件为当输入序列仅有一个元素时，直接返回，具体过程如下：

1. 如果输入内只有一个元素，则直接返回，否则将长度为 n 的输入序列分成两个长度为 n/2 的子序列；
2. 分别对这两个子序列进行归并排序，使子序列变为有序状态；
3. 设定两个指针，分别指向两个已经排序子序列的起始位置；
4. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间（用于存放排序结果），并移动指针到下一位置；
5. 重复步骤 3 ~4 直到某一指针达到序列尾；
6. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。

图解算法

如果没有看懂这个过程可以参考下面的文章：
十大经典排序算法-归并排序算法详解

代码实现

    /**
     * 归并排序
     * @param nums
     */
    public static int[] MergeSort(int[] nums) {
        //分割点
        int division = nums.length / 2;

        if (division < 1) return nums;

        //左数组
        int[] left = MergeSort(Arrays.copyOfRange(nums, 0, division));
        //右数组
        int[] right = MergeSort(Arrays.copyOfRange(nums, division, nums.length));
        //合并
        return merge(left,right);
    }

    public static int[] merge(int[] left,int[] right){
        //创建一个大数组容量为两数组长度之和
        int[] box = new int[left.length + right.length];
        //设置left数组的头指针
        int leftPointer = 0;
        //设置right数组的头指针
        int rightPointer = 0;
        //设置box的排序指针
        int boxPointer = 0;
        
        while (boxPointer < box.length) {
            //左数组已经全部填充完了的情况
            if (leftPointer >= left.length) {
                while (rightPointer < right.length) {
                    box[boxPointer++] = right[rightPointer++];
                }
                break;
            }
            //右数组已经全部填充完了的情况
            if (rightPointer >= right.length) {
                while (leftPointer < left.length) {
                    box[boxPointer++] = left[leftPointer++];
                }
                break;
            }
            //left指针更大的情况
            if (left[leftPointer] <= right[rightPointer]) {
                box[boxPointer++] = left[leftPointer++];
            }else {
                //right指针更大的情况
                box[boxPointer++] = right[rightPointer++];
            }
        }
        return box;
    }

算法分析

• 稳定性：稳定
• 时间复杂度：最佳：O(nlogn)， 最差：O(nlogn)， 平均：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(n)

快速排序 (Quick Sort)

快速排序用到了分治思想，同样的还有归并排序。乍看起来快速排序和归并排序非常相似，都是将问题变小，先排序子串，最后合并。不同的是快速排序在划分子问题的时候经过多一步处理，将划分的两组数据划分为一大一小，这样在最后合并的时候就不必像归并排序那样再进行比较。但也正因为如此，划分的不定性使得快速排序的时间复杂度并不稳定。

快速排序的基本思想：通过一趟排序将待排序列分隔成独立的两部分，其中一部分记录的元素均比另一部分的元素小，则可分别对这两部分子序列继续进行排序，以达到整个序列有序。

算法步骤

快速排序使用分治法open in new window（Divide and conquer）策略来把一个序列分为较小和较大的 2 个子序列，然后递回地排序两个子序列。具体算法描述如下：

1. 从序列中随机挑出一个元素，做为 “基准”(pivot)；
2. 重新排列序列，将所有比基准值小的元素摆放在基准前面，所有比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个操作结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
3. 递归地把小于基准值元素的子序列和大于基准值元素的子序列进行快速排序。

图解算法

代码实现

    /**
     * 快速排序
     * @param nums
     */
    public static void quickSort(int[] nums,int left,int right) {

        if (left >= right) return;
        //记录一下左右边界
        int l = left;int r = right;
        //确定基准元素
        int standard = nums[left];
        //左右交换标志 0：left比较 1：right比较
        int exchange = 1;
        while (left != right) {
            if (exchange++ % 2 == 1) {
                if (nums[right] < standard) nums[left++] = nums[right];
                else {
                    right--;
                    exchange++;
                }
            }else {
                if (nums[left] > standard) nums[right--] = nums[left];
                else {
                    left++;
                    exchange++;
                }
            }
        }
        nums[left] = standard;
        quickSort(nums,l,left -1);
        quickSort(nums,left + 1,r);
    }

算法分析

• 稳定性：不稳定
• 时间复杂度：最佳：O(nlogn)， 最差：O(nlogn)，平均：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(nlogn)

堆排序 (Heap Sort)

堆排序是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆的性质：即子结点的值总是小于（或者大于）它的父节点。

算法步骤

1. 将初始待排序列 (R1, R2, ……, Rn) 构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
2. 将堆顶元素 R[1] 与最后一个元素 R[n] 交换，此时得到新的无序区 (R1, R2, ……, Rn-1) 和新的有序区 (Rn), 且满足 R[1, 2, ……, n-1]<=R[n]；
3. 由于交换后新的堆顶 R[1] 可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区 (R1, R2, ……, Rn-1) 调整为新堆，然后再次将 R [1] 与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1, R2, ……, Rn-2) 和新的有序区 (Rn-1, Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为 n-1，则整个排序过程完成。

图解算法

代码实现

// Global variable that records the length of an array;
static int heapLen;

/**
 * Swap the two elements of an array
 * @param arr
 * @param i
 * @param j
 */
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int tmp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = tmp;
}

/**
 * Build Max Heap
 * @param arr
 */
private static void buildMaxHeap(int[] arr) {
    for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        heapify(arr, i);
    }
}

/**
 * Adjust it to the maximum heap
 * @param arr
 * @param i
 */
private static void heapify(int[] arr, int i) {
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
    int largest = i;
    if (right < heapLen && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }
    if (left < heapLen && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }
    if (largest != i) {
        swap(arr, largest, i);
        heapify(arr, largest);
    }
}

/**
 * Heap Sort
 * @param arr
 * @return
 */
public static int[] heapSort(int[] arr) {
    // index at the end of the heap
    heapLen = arr.length;
    // build MaxHeap
    buildMaxHeap(arr);
    for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
        // Move the top of the heap to the tail of the heap in turn
        swap(arr, 0, i);
        heapLen -= 1;
        heapify(arr, 0);
    }
    return arr;
}

算法分析

• 稳定性：不稳定
• 时间复杂度：最佳：O(nlogn)， 最差：O(nlogn)， 平均：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(1)

计数排序 (Counting Sort)

计数排序的核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

计数排序 (Counting sort) 是一种稳定的排序算法。计数排序使用一个额外的数组 C，其中第 i 个元素是待排序数组 A 中值等于 i 的元素的个数。然后根据数组 C 来将 A 中的元素排到正确的位置。它只能对整数进行排序。

算法步骤

方法一：

1. 找出数组中的最大值max和最小值min。
2. 生成一个长度为max-min+1的计数组nums,初值全为0。
3. 遍历原数组,当遇到nums[i]时,nums[nums[i]-min]的值加1。
4. 遍历计数组nums,当nums[i]不为0时,从原数组中取出nums[i]个i+min放到原数组中。

注意：

标准的计数排序算法无法直接对负数进行排序。这是因为它依赖于找出数组的最大值和最小值来确定计数数组的大小,而对负数进行排序的话,最大值和最小值可能会超出计数数组的索引范围。

但是可以通过一些改进,使得计数排序也能对负数进行排序，另外我们方法一中，我们在新建的计数数组中记录序列中每个元素的数量，如果序列有相同的元素，则在输出时，无法保证元素原来的排序，是一种不稳定的排序算法，可通过优化，将其改为稳定排序算法：

以序列83、80、88、90、88、86为例，首先填充计数数组

将计数数组从第二个元素开始，每个元素都加上前面所有元素的和，此时，计数数组的值表示的是元素在序列中的排序

接下来我们创建输出数组，长度与待排序序列一致，从后往前遍历待排序序列

首先，遍历最后一个元素86，我们在计数数组中找到86对应的值为3，则在输出数组的第3位（下标为2）填入86，计数数组86对应的值减1，既当前的86排序是3，下次遇到86则排序是2

接着，遍历下一个元素88，在计数数组中找到88对应的值为5，在输出数组的第5位（下标为4）填入88，计数数组88对应的值减1

然后，遍历下一个元素90，在计数数组中找到90对应的值为6，在输出数组的第6位（下标为5）填入90，计数数组90对应的值减1

继续遍历下一个元素88，在计数数组中找到88对应的值为4，在输出数组的第4位（下标为3）填入88，计数数组88对应的值减1

以此类推，将所有元素遍历完，填入输出数组

原序列第3位、第5位均为88，从上面的步骤我们可以看到，在第二步，第5位的88填入输出数组的第5位，在第四步，第3位的88填入输出数组的第4位，没有改变原序列相同元素的顺序

我们总结一下，方法二：

5. 找出数组中的最大值 max、最小值 min；
6. 创建一个新数组 C，其长度是 max-min+1，其元素默认值都为 0；
7. 遍历原数组 A 中的元素 A[i]，以 A[i]-min 作为 C 数组的索引，以 A[i] 的值在 A 中元素出现次数作为 C[A[i]-min] 的值；
8. 对 C 数组变形，新元素的值是该元素与前一个元素值的和，即当 i>1 时 C[i] = C[i] + C[i-1]；
9. 创建结果数组 R，长度和原始数组一样。
10. 从后向前遍历原始数组 A 中的元素 A[i]，使用 A[i] 减去最小值 min 作为索引，在计数数组 C 中找到对应的值 C[A[i]-min]，C[A[i]-min]-1 就是 A[i] 在结果数组 R 中的位置，做完上述这些操作，将 count[A[i]-min] 减小 1。

图解算法

代码实现

方法一代码：

    /**
     * 计数排序
     * @param nums
     */
    public static void countingSort(int[] nums){
        //首先找到最值
        int maxValue = nums[0];
        int minValue = nums[0];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (nums[i] > maxValue) {
                maxValue = nums[i];
            } else if (nums[i] < minValue) {
                minValue = nums[i];
            }
        }
        //创建计数数组
        int[] countNums = new int[maxValue - minValue + 1];
        //开始计数
        for (int num : nums) countNums[num - minValue]++;
        //重新填充原数组
        //填充指针
        int insert = 0;
        for (int i = 0; i < countNums.length; i++) {
            for (int j = countNums[i];j > 0;j--) nums[insert++] = i + minValue;
        }
    }

方法二代码：

/**
 * Gets the maximum and minimum values in the array
 *
 * @param arr
 * @return
 */
private static int[] getMinAndMax(int[] arr) {
    int maxValue = arr[0];
    int minValue = arr[0];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] > maxValue) {
            maxValue = arr[i];
        } else if (arr[i] < minValue) {
            minValue = arr[i];
        }
    }
    return new int[] { minValue, maxValue };
}

/**
 * Counting Sort
 *
 * @param arr
 * @return
 */
public static int[] countingSort(int[] arr) {
    if (arr.length < 2) {
        return arr;
    }
    int[] extremum = getMinAndMax(arr);
    int minValue = extremum[0];
    int maxValue = extremum[1];
    int[] countArr = new int[maxValue - minValue + 1];
    int[] result = new int[arr.length];

    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        countArr[arr[i] - minValue] += 1;
    }
    for (int i = 1; i < countArr.length; i++) {
        countArr[i] += countArr[i - 1];
    }
    for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
        int idx = countArr[arr[i] - minValue] - 1;
        result[idx] = arr[i];
        countArr[arr[i] - minValue] -= 1;
    }
    return result;
}

算法分析

当输入的元素是 n 个 0 到 k 之间的整数时，它的运行时间是 O(n+k)。计数排序不是比较排序，排序的速度快于任何比较排序算法。由于用来计数的数组 C 的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上 1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量额外内存空间。

• 稳定性：稳定
• 时间复杂度：最佳：O(n+k) 最差：O(n+k) 平均：O(n+k)
• 空间复杂度：O(k)

桶排序 (Bucket Sort)

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：

• 在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量
• 使用的映射函数能够将输入的 N 个数据均匀的分配到 K 个桶中

桶排序的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行。

算法步骤

1. 设置一个 BucketSize，作为每个桶所能放置多少个不同数值；
2. 遍历输入数据，并且把数据依次映射到对应的桶里去；
3. 对每个非空的桶进行排序，可以使用其它排序方法，也可以递归使用桶排序；
4. 从非空桶里把排好序的数据拼接起来。

图解算法

代码实现

/**
 * Gets the maximum and minimum values in the array
 * @param arr
 * @return
 */
private static int[] getMinAndMax(List<Integer> arr) {
    int maxValue = arr.get(0);
    int minValue = arr.get(0);
    for (int i : arr) {
        if (i > maxValue) {
            maxValue = i;
        } else if (i < minValue) {
            minValue = i;
        }
    }
    return new int[] { minValue, maxValue };
}

/**
 * Bucket Sort
 * @param arr
 * @return
 */
public static List<Integer> bucketSort(List<Integer> arr, int bucket_size) {
    if (arr.size() < 2 || bucket_size == 0) {
        return arr;
    }
    int[] extremum = getMinAndMax(arr);
    int minValue = extremum[0];
    int maxValue = extremum[1];
    int bucket_cnt = (maxValue - minValue) / bucket_size + 1;
    List<List<Integer>> buckets = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < bucket_cnt; i++) {
        buckets.add(new ArrayList<Integer>());
    }
    for (int element : arr) {
        int idx = (element - minValue) / bucket_size;
        buckets.get(idx).add(element);
    }
    for (int i = 0; i < buckets.size(); i++) {
        if (buckets.get(i).size() > 1) {
            buckets.set(i, sort(buckets.get(i), bucket_size / 2));
        }
    }
    ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
    for (List<Integer> bucket : buckets) {
        for (int element : bucket) {
            result.add(element);
        }
    }
    return result;
}

算法分析

• 稳定性：稳定
• 时间复杂度：最佳：O(n+k) 最差：O(n²) 平均：O(n+k)
• 空间复杂度：O(k)

基数排序 (Radix Sort)

基数排序也是非比较的排序算法，对元素中的每一位数字进行排序，从最低位开始排序，复杂度为 O(n×k)，n 为数组长度，k 为数组中元素的最大的位数；

基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以是稳定的。

必须使用稳定的计数排序算法，否则在同一位上出现相同元素时，则前一轮的排序就没有意义了

算法步骤

1. 取得数组中的最大数，并取得位数，即为迭代次数 N（例如：数组中最大数值为 1000，则 N=4）；
2. A 为原始数组，从最低位开始取每个位组成 radix 数组；
3. 对 radix 进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；
4. 将 radix 依次赋值给原数组；
5. 重复 2~4 步骤 N 次

图解算法

代码实现

/**
 * Radix Sort
 *
 * @param arr
 * @return
 */
public static int[] radixSort(int[] arr) {
    if (arr.length < 2) {
        return arr;
    }
    int N = 1;
    int maxValue = arr[0];
    for (int element : arr) {
        if (element > maxValue) {
            maxValue = element;
        }
    }
    while (maxValue / 10 != 0) {
        maxValue = maxValue / 10;
        N += 1;
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        List<List<Integer>> radix = new ArrayList<>();
        for (int k = 0; k < 10; k++) {
            radix.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        for (int element : arr) {
            int idx = (element / (int) Math.pow(10, i)) % 10;
            radix.get(idx).add(element);
        }
        int idx = 0;
        for (List<Integer> l : radix) {
            for (int n : l) {
                arr[idx++] = n;
            }
        }
    }
    return arr;
}

算法分析

• 稳定性：稳定
• 时间复杂度：最佳：O(n×k) 最差：O(n×k) 平均：O(n×k)
• 空间复杂度：O(n+k)

总结

这些排序算法的使用场景如下:

1. 数据量小,要求稳定:插入排序,冒泡排序
2. 数据量中等,要求最快速度:快速排序
3. 数据量大,要求稳定:归并排序,计数排序,桶排序
4. 浮点数排序:插入排序,归并排序,堆排序
5. 针对特定数据分布:计数排序,桶排序,基数排序

所以具体使用哪种排序算法,需要根据数据量的大小,稳定性的要求,数据的分布特点以及其他要素来综合判断选用。一般来说,对小数据量使用简单排序,大数据量使用时间复杂度低的稳定排序,特殊数据使用对应分布的排序。

对于百万以上级别的数据,推荐使用时间复杂度为O(nlogn)的排序,如快速排序,堆排序和归并排序。如果数据分布较集中的话,可以考虑线性时间的计数排序和桶排序。

基数排序 vs 计数排序 vs 桶排序

这三种排序算法都利用了桶的概念，但对桶的使用方法上有明显差异：

• 基数排序：根据键值的每位数字来分配桶
• 计数排序：每个桶只存储单一键值
• 桶排序：每个桶存储一定范围的数值