本文是将文章《线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。
公式 9-27 是支持向量机（SVM）优化过程中 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件的其中一项，表示 互补松弛条件（Complementary Slackness Condition）。该条件是拉格朗日对偶理论中的一个核心部分，它反映了优化问题中约束和拉格朗日乘子之间的关系。
公式 9-27 的表达式如下：
α
i
∗
(
y
i
(
w
∗
T
x
i
+
b
∗
)
−
1
)
=
0
,
i
=
1
,
2
,
…
,
N
\alpha_i^* \left( y_i \left( w^{*T} x_i + b^* \right) - 1 \right) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, N
αi∗(yi(w∗Txi+b∗)−1)=0,i=1,2,…,N
1. 公式的含义
这个公式描述了拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 和不等式约束 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) − 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) - 1 yi(w∗Txi+b∗)−1 之间的关系。具体来说，它表达了以下两种可能情况：
- 当 α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0 时，样本 x i x_i xi 必须满足 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) = 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) = 1 yi(w∗Txi+b∗)=1，即样本 x i x_i xi 位于分类超平面的边界上，这些点称为支持向量。
- 当 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0 时，样本 x i x_i xi 的分类间隔 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) y_i (w^{*T} x_i + b^*) yi(w∗Txi+b∗) 必须大于 1，也就是说，这些样本离分类超平面较远，它们对分类超平面的定义没有影响。
该公式本质上是 KKT 条件中的互补松弛条件，要求对于每个样本 x i x_i xi，只有当约束 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) = 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) = 1 yi(w∗Txi+b∗)=1 严格成立时，拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 才能大于 0。
2. 推导背景
在 SVM 中，我们的目标是找到一个超平面来最大化分类间隔，同时满足以下约束条件：
y
i
(
w
T
x
i
+
b
)
≥
1
,
对于每个训练样本
i
y_i (w^T x_i + b) \geq 1, \quad \text{对于每个训练样本 } i
yi(wTxi+b)≥1,对于每个训练样本 i
这个不等式意味着，所有的训练样本 x i x_i xi 必须被正确分类，并且正类样本（ y i = 1 y_i = 1 yi=1）必须位于分类超平面一侧的距离至少为 1，负类样本（ y i = − 1 y_i = -1 yi=−1）则必须位于另一侧的距离至少为 1。
为了处理这个带有不等式约束的优化问题，SVM 引入了拉格朗日乘子
α
i
\alpha_i
αi，并构造拉格朗日函数：
L
(
w
,
b
,
α
)
=
1
2
∥
w
∥
2
−
∑
i
=
1
N
α
i
(
y
i
(
w
T
x
i
+
b
)
−
1
)
L(w, b, \alpha) = \frac{1}{2} \|w\|^2 - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i \left( y_i (w^T x_i + b) - 1 \right)
L(w,b,α)=21∥w∥2−i=1∑Nαi(yi(wTxi+b)−1)
在最优条件下，KKT 条件要求满足互补松弛条件，即：
α
i
∗
(
y
i
(
w
∗
T
x
i
+
b
∗
)
−
1
)
=
0
\alpha_i^* \left( y_i \left( w^{*T} x_i + b^* \right) - 1 \right) = 0
αi∗(yi(w∗Txi+b∗)−1)=0
3. 互补松弛条件的解释
这个条件反映了不等式约束 y i ( w T x i + b ) ≥ 1 y_i (w^T x_i + b) \geq 1 yi(wTxi+b)≥1 和拉格朗日乘子 α i \alpha_i αi 的关系。我们可以把它理解为两种情况的组合：
第一种情况：当 α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0
- 互补松弛条件 α i ∗ ( y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) − 1 ) = 0 \alpha_i^* \left( y_i (w^{*T} x_i + b^*) - 1 \right) = 0 αi∗(yi(w∗Txi+b∗)−1)=0 要成立时，如果 α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0，那么 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) − 1 = 0 y_i (w^{*T} x_i + b^*) - 1 = 0 yi(w∗Txi+b∗)−1=0。
- 这意味着对于那些拉格朗日乘子 α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0 的样本 x i x_i xi，它们必须严格满足 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) = 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) = 1 yi(w∗Txi+b∗)=1。这些点恰好位于分类超平面的边界上，也就是说，它们是支持向量。
第二种情况：当 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0
- 如果 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0，那么互补松弛条件自动成立，无论 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) − 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) - 1 yi(w∗Txi+b∗)−1 是否为 0 或更大。
- 这意味着对于那些不影响超平面的样本（即 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0），它们不需要严格位于边界上，可以离分类超平面更远，满足 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) > 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) > 1 yi(w∗Txi+b∗)>1。换句话说，这些点距离分类超平面较远，它们不会影响分类器的构建。
4. 几何解释
几何上，公式 9-27 说明了样本点在 SVM 分类过程中所扮演的不同角色：
-
支持向量：这些样本点恰好位于分类超平面的边界上。对于这些点， α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0，并且它们满足 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) = 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) = 1 yi(w∗Txi+b∗)=1。这些点直接决定了分类超平面的形状和位置。
-
非支持向量：这些点的拉格朗日乘子 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0，它们不在分类超平面的边界上，距离超平面有一定的距离。对于这些点， y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) > 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) > 1 yi(w∗Txi+b∗)>1，它们对分类超平面的定义没有影响。
5. 公式 9-27 的作用
在 SVM 的优化问题中，公式 9-27 起到了筛选支持向量的作用。根据互补松弛条件，只有那些拉格朗日乘子 α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0 的点会成为支持向量，它们对分类超平面产生影响。而对于 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0 的点，它们不会对分类器的最终结果产生影响，因为这些点在分类超平面的外侧，距离超平面较远。
具体作用如下：
- 确定支持向量：通过公式 9-27，我们知道只有那些满足 α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0 且 y i ( w ∗ T x i + b ∗ ) = 1 y_i (w^{*T} x_i + b^*) = 1 yi(w∗Txi+b∗)=1 的点才是支持向量。这些点是决定分类器超平面形状的关键点。
- 筛选无影响的点：对于那些 α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0 的样本点，它们对超平面的构造没有影响，可以认为这些点在优化过程中被“忽略”了。
6. 总结
公式 9-27 是支持向量机（SVM）优化问题中的互补松弛条件，表明了支持向量（ α i ∗ > 0 \alpha_i^* > 0 αi∗>0）和非支持向量（ α i ∗ = 0 \alpha_i^* = 0 αi∗=0）之间的区别。通过这个公式，我们可以知道哪些样本点会对分类超平面的构造产生影响（支持向量），以及哪些点不会（非支持向量）。互补松弛条件在优化问题中确保了有效约束的合理性。
